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Les solides de Platon

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Philosophe et élève de Socrate, Platon (-427 ; -347) se consacre d’abord à la poésie, au théâtre et la musique.
Son œuvre « Les Dialogues » nous est parvenue intacte. Elle traite de nombreux thèmes philosophiques tels que le devoir, la vertu, la sagesse, la beauté, l’amour …

Ses origines aristocrates semblent le vouer à une carrière politique. Son père serait descendant de Codrus, dernier roi d’Athènes. Platon est à l’origine des sciences politiques. Il élabore des concepts politiques nouveaux pour son temps.

En 399 avant J.C., Socrate est condamné pour des raisons qui restent aujourd’hui mystérieuses. Platon, bouleversé par sa mort, entame une longue série de voyages. Durant douze années, il traversera toute la Méditerranée d’Egypte en Sicile en passant par Mégare, Cyrène, Tarente, …

Eveillé aux mathématiques par Théodore de Cyrène (-470 ; -420) et influencé par la pensée pythagoricienne, Platon se consacre aux sciences et fonde à son retour à Athènes, dans les jardins d’Akadêmos, une école de philosophie et de sciences : «l’Académie» au fronton de laquelle on peut y lire :

« Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre »

L'Académie de Platon

Pour Platon, le monde s’appuie sur cinq éléments essentiels : le Feu, l’Air, l’Eau, la Terre et l’Univers. Il associe à chacun d’eux un polyèdre régulier inscriptible dans une sphère. Toutes ses faces sont des polygones réguliers isométriques : tous les côtés sont de même longueur et tous les angles sont de même mesure. Il en existe cinq et cinq seulement possédant de telles propriétés : le tétraèdre, l'octaèdre, l’icosaèdre, le cube et le dodécaèdre.
Selon Platon, la perfection de ces polyèdres symbolise par excellence les cinq éléments.
On les appelle aujourd'hui « Les solides de Platon ».

	Le tétraèdre, symbole du Feu Il est composé de 4 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 4 sommets et 6 arêtes.
	L'octaèdre, symbole de l’Air Il est composé de 8 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 6 sommets et 12 arêtes.
	L'icosaèdre, symbole de l’Eau Il est composé de 20 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 12 sommets et 30 arêtes.
	Le cube, symbole de la Terre Il est composé de 6 faces qui sont des carrés. Il a 8 sommets et 12 arêtes.
	Le dodécaèdre, symbole de l’Univers Il est composé de 12 faces qui sont des pentagones réguliers. Il a 20 sommets et 30 arêtes.

Euclide d'Alexandrie (-320? ; -260?) démontrera que ces polyèdres sont exactement au nombre de cinq. Car la justification de Platon est plutôt naïve : il n’en existe que cinq car le cosmos ne contient que cinq éléments !

Beaucoup plus tard, à la Renaissance, Johannes Kepler (1571-1630) publie en 1596 "Mysterium Cosmographicum" où il propose un modèle de l’univers s’appuyant sur les solides de Platon.
A cette époque, six planètes seulement sont connues. Kepler remarque que les sphères représentant les orbites des planètes peuvent contenir les solides de Platon.
A Saturne, il associe le cube, à Jupiter le tétraèdre, à Mars le dodécaèdre, à Venus l'icosaèdre et à Mercure l'octaèdre. La terre qu’il présente comme l’image de Dieu, sert de séparation entre deux solides.

L'Univers selon Kepler extrait de "Le secret du monde" 1596

 

Nous pouvons aussi vérifier que chaque solide de Platon répond à la formule d'Euler, démontrée en 1752 par le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783) obtenue avec un nombre F de faces, A d'arêtes et S de sommets :

F + S – A = 2

Notons que cette formule a en fait été établie par René Descartes (1596 ; 1650) !

 

 

Essayons enfin de comprendre pourquoi n’existe-t-il pas plus de cinq polyèdres réguliers convexes ?

Pour cela, il faut s’attacher aux propriétés de leurs sommets. Pour être régulier, un polyèdre doit posséder le même nombre de polygones réguliers en chacun de ses sommets et la somme des angles au sommet des polygones réguliers doit être strictement inférieure à 360°.

1er cas : les polygones réguliers sont des triangles équilatéraux

S’il y a 3 triangles équilatéraux en chaque sommet, nous obtenons un tétraèdre.
S’il y en a 4, nous obtenons un octaèdre.
S’il y en a 5, nous obtenons un icosaèdre.
S’il y en a 6, c’est impossible car la somme des angles au sommet serait égale à 6 x 60° = 360°.
De la même façon, plus que 6 est impossible.

2e cas : les polygones réguliers sont des carrés

S’il y a 3 carrés en chaque sommet, nous obtenons un cube.
S’il y en a 4, c’est impossible car la somme des angles au sommet serait égale à 4 x 90° = 360°.
De la même façon, plus que 4 est impossible.

3e cas : les polygones réguliers sont des pentagones réguliers

S’il y a 3 pentagones en chaque sommet, nous obtenons un dodécaèdre.
S’il y en a 4, c’est impossible car la somme des angles au sommet serait égale à 4 x 108° = 432°.
De la même façon, plus que 4 est impossible.

4e cas : les polygones réguliers sont des hexagone réguliers

S’il y a 3 hexagones en chaque sommet, c’est impossible car la somme des angles au sommet serait égale à 3 x 120° = 360°.
De la même façon, plus que 3 est impossible.

De la même façon, aller au delà de l’hexagone régulier est impossible.

Il existe donc exactement cinq polyèdres réguliers dits de Platon. -cqfd-

 

L'Ecole d'Athènes (1509-1510) vue par le peintre italien Raphaël.
Au centre, Platon (à gauche) et Aristote (à droite).
Devant, sur la gauche, à genoux en train d'écrire, on retrouve Pythagore et à droite penché en avant, Euclide.

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• Bibliographie